\(\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-2bx-2ax-2cx+ab+bc+ac=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-2.\left(a+b+c\right).x+ab+bc+ac=0\)

Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(a+b+c\right)\right]^2-4.3.\left(ab+bc+ac\right)\)

\(=4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4bc-4ac\)

\(=\left(2a^2-4ab+2b^2\right)+\left(2b^2-4bc+2c^2\right)+\left(2c^2-4ac+2a^2\right)\)

\(=2.\left(a-b\right)^2+2\left(b-c\right)^2+2\left(c-a\right)^2\ge0\)

=>PT luôn luôn có nghiệm

Vậy PT trên luôn có nghiệm với mọi a,b,c

mọi người giúp mk vs nha, cảm ơn nhiều >_^

Đặt \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)\)

Hàm \(f\left(x\right)\) hiển nhiên liên tục trên R

Do vai trò a;b;c như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(a< b< c\)

\(f\left(a\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)

\(f\left(b\right)=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)

\(f\left(c\right)=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)

\(f\left(a\right).f\left(b\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)=\left(a-b\right)^2\left(c-a\right)\left(b-c\right)\)

Do \(a< b< c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-a>0\\b-c< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b)

\(f\left(b\right).f\left(c\right)=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)=\left(b-c\right)^2\left(a-b\right)\left(c-a\right)\)

Do \(a< b< c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b< 0\\c-a>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(b\right).f\left(c\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (b;c)

Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

Lời giải:

$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$

$\Leftrightarrow 3x^2-2x(a+b+c)+(ab+bc+ac)=0$

Ta thấy:

$\Delta'=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$

$=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0$ với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow$ PT đã cho luôn có nghiệm với mọi $a,b,c$